SERIES:

 

Definición 11   La expresión

\begin{displaymath} \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k =a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k+\cdots \end{displaymath}


se denomina serie infinita o serie de números reales y a los números $a_1, a_2, ...$, elementos de la serie. Las sumas

\begin{displaymath} s_n= \displaystyle\sum_{k=1}^n a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n, \end{displaymath}


se denominan sumas parciales de la serie.

 

  Diremos que la serie $ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}a_k $converge a $s$, si la sucesión de sumas praciales $\{s_n\}$tiene límite $s$y a dicho número le denominaremos ``suma'' de la serie. Si, por el contrario, la sucesión de sumas parciales no tiene límite, entonces diremos que la serie diverge.

 

 

TEOREMA:

Criterio de Comparación para series númericas
Sean $ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}a_k $y $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}b_k$dos series de términos positivos. Si existe un $N\in{\mathbb{N}}$tal que para todo $n>N$, $a_n\leq b_n$, entonces:

  1. Si $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}b_k <+\infty$, entonces $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}a_k<+\infty$
  2. Si $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}a_k=+\infty$, entonces $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}b_k=+\infty$

Un colorario inmediato del teorema anterior es que si $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\neq 0$, entonces ambas series $ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}a_k $y $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{}b_k$tienen el mismo carácter convergente o divergente. En el caso cuando $L=0$, esto no es cierto en general. En este caso sólo se puede concluir lo mismo que en teorema de comparación (este corolario sigue siendo válido sólo para series de términos positivos).